Question

19．在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，射線l：θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）與⊙O₁：（x-1）²+y²=1和⊙O₂：x²+（y-2）²=4的交點分別為A，B，則|AB|=（　�。�

• A． 2+$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$-1
• D． 1

Answer 1

分析 先求出射線l的直角坐標方程，再分別求出射線l與⊙o₁的交點A的坐標和射線l與⊙o₂的交點B的坐標，最后利用兩點間距離公式求出答案．

解答 解：∵射線l：θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0），
∴射線l的直角坐標方程y=$\sqrt{3}$x（x＞0，y＞0），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得x=0或$\frac{1}{2}$（舍去0）
∴x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．∴射線l與⊙o₁的交點A為（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{{x}^{2}+（y-2）^{2}=4}\end{array}\right.$，解得x=0或$\sqrt{3}$（舍去0）
∴x=$\sqrt{3}$，y=3．∴射線l與⊙o₂的交點B為（$\sqrt{3}$，3）．
∴|AB|=$\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{1}{2}）^{2}+（3-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{13-4\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$-1．
故選：C．

點評 本題考查極坐標方程轉化為直角坐標方程，考查兩點間距離公式，考查運算能力，屬于基礎題．