Question

3．如圖，A是△BCD所在平面外一點(diǎn)，M、N為△ABC和△ACD重心，BD=6；
（1）求MN的長(zhǎng)；
（2）若A、C的位置發(fā)生變化，MN的位置和長(zhǎng)度會(huì)改變嗎？

Answer 1

分析 （1）利用三角形的重心的性質(zhì)，可得M、N分別是△ABC與△ACD的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，得$\frac{AM}{AE}=\frac{AN}{AF}$=$\frac{2}{3}$，由此利用平行線的性質(zhì)與三角形中位線定理，算出MN與BD的關(guān)系，即可得到MN的長(zhǎng)．
（2）由（1）可得位置改變，長(zhǎng)度不改變．

解答 解：（1）延長(zhǎng)AM、AN，分別交BC、CD于點(diǎn)E、F，連結(jié)EF．
∵M(jìn)、N分別是△ABC和△ACD的重心，
∴AE、AF分別為△ABC和△ACD的中線，且$\frac{AM}{AE}=\frac{AN}{AF}$=$\frac{2}{3}$，
可得MN∥EF且MN=$\frac{2}{3}$EF，
∵EF為△BCD的中位線，可得EF=$\frac{1}{2}$BD，
∴MN=$\frac{1}{3}$BD=2；
（2）由（1）可得位置改變，長(zhǎng)度不改變．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了三角形的重心性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和三角形的中位線定理等知識(shí)，屬于中檔題．