【題目】已知f(x)=xlnx﹣ax,g(x)=﹣x2﹣2.
(1)對一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當a=﹣1時,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,m+3](m>0)上的最值;
(3)證明:對一切x∈(0,+∞),都有 成立.
【答案】
(1)
解:對一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,即xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立.
也就是 在x∈(0,+∞)上恒成立.令 ,
則 .x∈(0,1)時,F(xiàn)'(x)<0,x∈(1,+∞)時,F(xiàn)'(x)>0.
因此F(x)在x=1處取極小值,也是最小值,即F(x)min=F(1)=3,
∴a≤3;
(2)
解:當a=﹣1時,f(x)=xlnx+x,f′(x)=lnx+2,由f'(x)=0得 .
當 時,在 上f'(x)<0,在 上f'(x)>0.
因此f(x)在 處取得極小值,也是最小值.故 .
由于f(m)=m(lnm+1)<0,f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1]>0,
因此f(x)max=f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1].
當 時,f'(x)≥0,因此f(x)在[m,m+3]上單調(diào)遞增,
故f(x)min=f(m)=m(lnm+1),f(x)max=f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1];
(3)
證明:要證 成立,即證 ,x∈(0,+∞).
由(2)知a=﹣1時,f(x)=xlnx+x的最小值是 ,當且僅當 時取等號.
設(shè) ,x∈(0,+∞),則 ,易知 ,
當且僅當x=1時取到.
從而可知對一切x∈(0,+∞),都有 .
【解析】(1)對一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,即xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立,可化為a≤lnx+x+ 在x∈(0,+∞)上恒成立.令F(x)=lnx+x+ ,利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出;(2)把a=﹣1代入f(x),再求出f′(x),由f'(x)=0得 ,然后分類討論,當 時,在 上f'(x)<0,在 上f'(x)>0,因此f(x)在 處取得極小值,由于f(m)=m(lnm+1)<0,f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1]>0,因此f(x)max=f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1],當 時,f'(x)≥0,因此f(x)在[m,m+3]上單調(diào)遞增,從而可求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,m+3](m>0)上的最值;(3)要證 成立,即證 ,由(Ⅱ)知a=﹣1時,f(x)的最小值是 ,當且僅當 時取等號.設(shè) ,x∈(0,+∞),則 ,易知 ,當且僅當x=1時取到,即可證得結(jié)論.
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個,其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為2、3、4,乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)均為3,某人用左手從甲袋中取球,用右手從乙袋中取球,
(1)若左右手各取一球,求兩只手中所取的球顏色不同的概率;
(2)若一次在同一袋中取出兩球,如果兩球顏色相同則稱這次取球獲得成功。某人第一次左手先取兩球,第二次右手再取兩球,記兩次取球的獲得成功的次數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知一元二次函數(shù)的最大值為,其圖象的對稱軸為,且與軸兩個交點的橫坐標的平方和為.
(1)求該一元二次函數(shù);
(2)要將該函數(shù)圖象的頂點平移到原點,請說出平移的方式.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在極坐標系中,曲線C的方程為 ,點 ,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,兩坐標系中取相同的長度單位.
(1)求曲線C的直角坐標方程及點R的直角坐標;
(2)設(shè)P為曲線C上一動點,以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸,求矩形PQRS周長的最小值及此時點P的直角坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若對于任意,都有成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,且,證明:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】質(zhì)檢部門對某工廠甲、乙兩個車間生產(chǎn)的個零件質(zhì)量進行檢測.甲、乙兩個車間的零件質(zhì)量(單位:克)分布的莖葉圖如圖所示.零件質(zhì)量不超過克的為合格.
(1)質(zhì)檢部門從甲車間個零件中隨機抽取件進行檢測,若至少件合格,檢測即可通過,若至少件合格,檢測即為良好,求甲車間在這次檢測通過的條件下,獲得檢測良好的概率;
(2)若從甲、乙兩車間個零件中隨機抽取個零件,用表示乙車間的零件個數(shù),求的分布列與數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】據(jù)說偉大的阿基米德逝世后,敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑,在墓碑上刻了一個如圖所示的圖案,圖案中球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等,圓錐的頂點為圓柱上底面的圓心,圓錐的底面是圓柱的下底面.
(1)試計算出圖案中球與圓柱的體積比;
(2)假設(shè)球半徑.試計算出圖案中圓錐的體積和表面積.
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