【題目】已知橢圓E： 的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且｜AB|=1.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)P、Q是橢圓E上兩點(diǎn)，P在第一象限，Q在第二象限，且OP⊥OQ,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn).

當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在定圓O，使得直線PQ都與定圓O相切？若存在，請(qǐng)求出圓O的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（１）＋y2＝1. （２）存在定圓O: 使得直線PQ與定圓O相切.

【解析】試題分析：（1）利用，解得，由此求得橢圓方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，將轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的數(shù)量積為零，可求得的一個(gè)關(guān)系式.由于直線和圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑可求得半徑為定值.

試題解析：

（1）因?yàn)閑＝，所以＝，通徑長(zhǎng)， 解得 ， ,故橢圓的方程為＋y2＝1. （2）設(shè)PQ方程為y=kx+m 代入橢圓方程＋y2＝1.

化簡(jiǎn)得 設(shè)P（x1,y1） Q(x2,y2)

由韋達(dá)定理得

化簡(jiǎn)得

假設(shè)存在定圓與直線PQ相切，半徑為r，則圓心到直線的距離d=r

為定值

所以當(dāng)P,Q運(yùn)動(dòng)時(shí)， 存在定圓: 使得直線PQ與定圓相切.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，N*

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）已知（N*），記（且），是否存在這樣的常數(shù)，使得數(shù)列是常數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）若數(shù)列，對(duì)于任意的正整數(shù)，均有

成立，求證：數(shù)列是等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校收集該校學(xué)生從家到學(xué)校的時(shí)間后，制作成如下的頻率分布直方圖：

（1）求的值及該校學(xué)生從家到校的平均時(shí)間；

（2）若該校因?qū)W生寢室不足，只能容納全校的學(xué)生住校，出于安全角度考慮，從家到校時(shí)間較長(zhǎng)的學(xué)生才住校，請(qǐng)問(wèn)從家到校時(shí)間多少分鐘以上開始住校.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(jī)（均為整數(shù)）分成六組[40，50），[50，60）， ．．．，[90，100]后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：

（Ⅰ）求成績(jī)落在[70，80）上的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；

(Ⅱ) 估計(jì)這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分；

(Ⅲ) 從成績(jī)?cè)赱40，50）和[90，100]的學(xué)生中任選兩人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】平潭國(guó)際“花式風(fēng)箏沖浪”集訓(xùn)隊(duì)，在平潭龍鳳頭海濱浴場(chǎng)進(jìn)行集訓(xùn)，海濱區(qū)域的某個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到該處水深（米）是隨著一天的時(shí)間呈周期性變化，某天各時(shí)刻的水深數(shù)據(jù)的近似值如下表：

0

3

6

9

12

15

18

21

24

1.5

2．4

1.5

0．6

1.4

2.4

1.6

0.6

1.5

（Ⅰ）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖（坐標(biāo)系在答題卷中）.觀察散點(diǎn)圖，從

①， ②，③

中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；（Ⅱ）為保證隊(duì)員安全，規(guī)定在一天中的5～18時(shí)且水深不低于1.05米的時(shí)候進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)（Ⅰ） 中的選擇的函數(shù)解析式，試問(wèn)：這一天可以安排什么時(shí)間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，對(duì)于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立．當(dāng)x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2時(shí)，都有 >0，給出下列命題：

① f(3)＝0；

② 直線x＝－6是函數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸；

③ 函數(shù)y＝f(x)在[－9，－6]上為單調(diào)遞減函數(shù)；

④ 函數(shù)y＝f(x)在[－9，9]上有4個(gè)零點(diǎn)．

其中正確的命題是____________．(填序號(hào))

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知a＝(1，2)，b＝(－2，n)，a與b的夾角是45°.

(1) 求b；

(2) 若c與b同向，且a與c－a垂直，求向量c的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四邊形與均為菱形，，且．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（A）設(shè)函數(shù)， .

（1）證明：函數(shù)在上為增函數(shù)；

（2）若方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的值.

（B）已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）若存在唯一實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的值.

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