【題目】(A)設(shè)函數(shù), .

(1)證明:函數(shù)上為增函數(shù);

(2)若方程有且只有兩個不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的值.

(B)已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的最小值;

(2)若存在唯一實(shí)數(shù),使得成立,求實(shí)數(shù)的值.

【答案】(A)(1)詳見解析; (2).(B)(1);(2).

【解析】試題分析:(A)(1)計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并因式分解,證明因式分解后每個因子都是正數(shù),由此判斷原函數(shù)在上為增函數(shù).(2)利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求得函數(shù)的極大值和極小值,要使有兩個不同的實(shí)數(shù)根,則需極大值等于,由此列方程可求得的值.(B)(1)利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,比較兩個極值點(diǎn)的函數(shù)值,由此判斷出是函數(shù)的最小值.(2)注意到方程的判別式大于零,有兩個不同的實(shí)數(shù)根,若存在唯一實(shí)數(shù),使得成立,由(1)得,即,解得.

試題解析:

(A)證明:(1)的定義域?yàn)?/span> ,

當(dāng)時,由 ,得,所以,則有函數(shù)上為增函數(shù).

(2)令,得.

列表如下:

0

0

負(fù)

0

增函數(shù)

極大值

減函數(shù)

極小值

增函數(shù)

則當(dāng)時,函數(shù)有極大值,

當(dāng)時,函數(shù)有極小值,

時, , 時, 時, ,

因?yàn)榉匠?/span>,即有且只有兩個不同的實(shí)數(shù)根,

所以,解得(負(fù)根舍去).

(B)(1)的定義域?yàn)?/span>,

,

,得,

列表如下:

1

0

負(fù)

0

增函數(shù)

極大值

減函數(shù)

極小值

增函數(shù)

則函數(shù) 上為增函數(shù),在上為減函數(shù);

當(dāng)時, ,所以當(dāng)時, ,又

所以時,函數(shù)有最小值.

(2)對于,有,則函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn),

若存在唯一實(shí)數(shù),使得成立,由(1)得,即,解得.

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導(dǎo)師轉(zhuǎn)身人數(shù)(人)

4

3

2

1

獲得相應(yīng)導(dǎo)師轉(zhuǎn)身的選手人數(shù)(人)

1

2

2

1

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