Question

5．已知二次函數f（x）=ax²-bx+2．
（1）若不等式f（x）＞0的解集為{x|x＞2或x＜1}，求a和b的值；
（2）若b=2a+1，對任意a∈[$\frac{1}{2}$，1]，f（x）＞0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＞0的解集為{x|x＞2或x＜1}，所以與之對應的二次方程ax²-bx+2=0的兩個根為1，2，由韋達定理可得a和b的值；
（2）若b=2a+1，對任意a∈[$\frac{1}{2}$，1]，f（x）＞0恒成立，則g（a）=a（x²-2x）-x+2中$\left\{\begin{array}{l}g（1）＞0\\ g（\frac{1}{2}）＞0\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：（1）不等式f（x）＞0的解集為{x|x＞2或x＜1}，
所以與之對應的二次方程ax²-bx+2=0的兩個根為1，2，
由韋達定理得：a=1，b=3                 …（4分）
（2）若b=2a+1，對任意a∈[$\frac{1}{2}$，1]，
則f（x）=ax²-（2a+1）x+2．
令g（a）=a（x²-2x）-x+2，
若對任意a∈[$\frac{1}{2}$，1]，f（x）＞0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}g（1）＞0\\ g（\frac{1}{2}）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-3x+2＞0\\{\frac{1}{2}x}^{2}-2x+2＞0\end{array}\right.$，…（8分）
解得：x＞2或x＜1…（10分）

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．