【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , a1=1,且(n+1)an=2Sn(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足 , ,對任意n∈N* , 都有 .
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式;
(2)令Tn=a1b1+a2b2+…+anbn . 若對任意的n∈N* , 不等式λnTn+2bnSn<2(λn+3bn)恒成立,試求實數(shù)λ的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵(n+1)an=2Sn,∴ ,n∈N*
當(dāng)n≥2時, ,
∴nan﹣1=(n﹣1)an,即 ( n≥2).
∴ (n≥2),
又a1=1,也滿足上式,
故數(shù)列{an}的通項公式an=n(n∈N*)..
由 , , ,
可知:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,其首項、公比均為 ,
∴數(shù)列{bn}的通項公式:bn=
(2)解:∵anbn=n .
∴Tn= +3× +…+n .
= +…+(n﹣1) +n ,
∴ Tn= +…+ ﹣n = ﹣n ,
∴ .
又Sn=1+2+…+n= .
不等式λnTn+2bnSn<2(λn+3bn)恒成立,
即λn + <2 ,
即(1﹣λ)n2+(1﹣2λ)n﹣6<0,(n∈N*)恒成立.
設(shè)f(n)=(1﹣λ)n2+(1﹣2λ)n﹣6,(n∈N*).
當(dāng)λ=1時,f(n)=﹣n﹣6<0恒成立,則λ=1滿足條件;
當(dāng)λ<1時,由二次函數(shù)性質(zhì)知不恒成立;
當(dāng)λ>1時,由于對稱軸x= <0,則f(n)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴f(n)≤f(1)=﹣3λ﹣4<0恒成立,則λ>1滿足條件,
綜上所述,實數(shù)λ的取值范圍是[1,+∞)
【解析】(1)由(n+1)an=2Sn , 可得 ,n∈N* , 利用遞推關(guān)系可得: ( n≥2).利用“累乘求積”方法即可得出an . 利用等比數(shù)列的通項公式即可得出bn . (2)由anbn=n ,利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出Tn . 代入不等式λnTn+2bnSn<2(λn+3bn),化簡整理利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
【考點精析】認真審題,首先需要了解數(shù)列的通項公式(如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式).
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【題目】已知橢圓E: 的右焦點為F(3,0),過點F的直線交橢圓E于A、B兩點.若AB的中點坐標(biāo)為(1,﹣1),則E的方程為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】選修4一4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程是 (為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是.
(1)寫出的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點的極坐標(biāo)分別為和,直線與曲線相交于兩點,射線
與曲線相交于點,射線與曲線相交于點,求的值.
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【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}滿足 =1,公差d∈(﹣1,0),當(dāng)且僅當(dāng)n=9時,數(shù)列{an}的前n項和Sn取得最大值,求該數(shù)列首項a1的取值范圍( )
A.( , )
B.[ , ]
C.( , )
D.[ , ]
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【題目】給出以下問題:
①求面積為1的正三角形的周長;
②求鍵盤所輸入的三個數(shù)的算術(shù)平均數(shù);
③求鍵盤所輸入的兩個數(shù)的最小數(shù);
④求函數(shù)當(dāng)自變量取時的函數(shù)值.
其中不需要用條件語句來描述算法的問題有( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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【題目】現(xiàn)有1名女教師和2名男教師參加說題比賽,共有2道備選題目,若每位選手從中有放回地隨機選出一道題進行說題,其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是梯形, , , , ,側(cè)面底面.
(1)求證:平面平面;
(2)若,且三棱錐的體積為,求側(cè)面的面積.
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【題目】如圖1,在平面多邊形中,四邊形為正方形, , ,沿著將圖形折成圖2,其中, , 為的中點.
(1)求證: ;
(2)求四棱錐的體積.
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【題目】已知 =( sinx,m+cosx), =(cosx,﹣m+cosx),且f(x)=
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈ 時,f(x)的最小值是﹣4,求此時函數(shù)f(x)的最大值,并求出相應(yīng)的x的值.
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