Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$，且曲線f（x）在點（e，f（e））處的切線與直線y=e²x+e垂直（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若f（x）在（m，m+1）上單調，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）設g（x）=（x+1）•f（x），求證：當x＞1時，g（x）＞$\frac{2（e+1）{e}^{x}}{e（x{e}^{x}+1）}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件可得a=1，求導數(shù)，求單調區(qū)間和極值，令m＜1＜m+1，解不等式即可得到取值范圍；
（2）問題轉化為$\frac{1}{e+1}$$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$＞$\frac{{2e}^{x-1}}{{xe}^{x}+1}$，令h（x）=$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$，m（x）=$\frac{{2e}^{x-1}}{{xe}^{x}+1}$，根據(jù)函數(shù)的單調性判斷即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1-a-lnx}{{x}^{2}}$，
f（x）在點（e，f（e））處的切線斜率為-$\frac{a}{{e}^{2}}$，
由切線與直線e²x-y+e=0垂直，
可得f′（e）=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，即有-$\frac{a}{{e}^{2}}$=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
解得得a=1；
∴f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$（x＞0）
當0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．
若f（x）在（m，m+1）上單調，
則m=0，或m＞1．
（2）證明：g（x）=（x+1）•f（x）=（x+1）$\frac{a+lnx}{x}$，
當x＞1時，g（x）＞$\frac{2（e+1）{e}^{x}}{e（x{e}^{x}+1）}$
即為 $\frac{1}{e+1}$$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$＞$\frac{{2e}^{x-1}}{{xe}^{x}+1}$，
令h（x）=$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$，
則h′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，
再令φ（x）=x-lnx，則φ′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，h′（x）＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴x＞1時，h（x）＞h（1）=2   
故 $\frac{h（x）}{e+1}$＞$\frac{2}{e+1}$．
令m（x）=$\frac{{2e}^{x-1}}{{xe}^{x}+1}$，
則m′（x）=$\frac{{2e}^{x-1}（1{-e}^{x}）}{{（{xe}^{x}+1）}^{2}}$，
∵x＞1，∴1-e^x＜0，m′（x）＜0，即m（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴x＞1時，m（x）＜m（1）=$\frac{2}{e+1}$，
∴g（x）＞$\frac{2（e+1）{e}^{x}}{e（x{e}^{x}+1）}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率、單調區(qū)間和極值，同時考查構造函數(shù)求導數(shù)，判斷單調性，運用單調性證明不等式，屬于中檔題．