Question

14．如圖，直線PO與直徑為4的圓O交于B，C兩點(diǎn)，且PC=2，直線PA切圓O于點(diǎn)A
（Ⅰ）證明：AB=AP；
（Ⅱ）若AM⊥PB，延長(zhǎng)MC交AP于點(diǎn)N，求證：MN⊥PA．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出∠P=∠B=30°，即可證明：AB=AP；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∠M=∠B=30°=∠P，利用AM⊥PB，證明：MN⊥PA．

解答 證明：（Ⅰ）∵直線PO與直徑為4的圓O交于B，C兩點(diǎn)，且PC=2，直線PA切圓O于點(diǎn)A，
∴PA²=PC•PB=12，
∴PA=2$\sqrt{3}$，
∴∠P=30°，∠AOP=60°，
∵OA=OB，
∴∠B=30°，
∴∠P=∠B，
∴AB=AP；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∠M=∠B=30°=∠P，
∵AM⊥PB，
∴MN⊥PA．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查等腰三角形的判定，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．