Question

定義域?yàn)閇a，b]的函數(shù)y=f（x）圖象的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點(diǎn)，其中x=λa+（1-λ）b（x∈R）．已知

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，若|

MN

|≤k恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上“k階線性近似”．若函數(shù)y=x²-3x+2在[1，3]上k階線性相似，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：A（1，0），B（3，2）．可得M（3-2λ，4λ²-6λ+2）．

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

=（3-2λ，2-2λ），得到

MN

=（0，-4λ²+4λ）．由于函數(shù)y=x²-3x+2在[1，3]上k階線性相似，因此|

MN

|≤k恒成立，于是k≥|4λ²-4λ|_max．由于0≤λ≤1，即可得出|4λ²-4λ|_max．

解答： 解：A（1，0），B（3，2）．
∴x_M=λ+3（1-λ）=3-2λ，y_M=（3-2λ）²-3（3-2λ）+2=4λ²-6λ+2．
∴M（3-2λ，4λ²-6λ+2）．

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

=λ（1，0）+（1-λ）（3，2）=（3-2λ，2-2λ），
∴

MN

=（0，-4λ²+4λ）．
∵函數(shù)y=x²-3x+2在[1，3]上k階線性相似，
∴|

MN

|≤k恒成立，∴k≥|4λ²-4λ|_max．
∵0≤λ≤1，∴|4λ²-4λ|_max=1．
則實(shí)數(shù)k的取值范圍為k≥1．
故答案為：[1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了新定義、向量的線性運(yùn)算、模的計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．