Question

15．已知函數(shù)$f（x）=lg（\frac{2a}{1+x}-1）（a＞0）$．求證：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a=1．

Answer 1

分析 分充分性、必要性進(jìn)行論證，即可得到結(jié)論．

解答 證明：充分性：由a=1，函數(shù)f（x）=lg（ $\frac{2}{1+x}$-1）=lg $\frac{1-x}{1+x}$，
∵$\frac{1-x}{1+x}$＞0，∴-1＜x＜1，
又f（x）+f（-x）=lg $\frac{1-x}{1+x}$+lg $\frac{1+x}{1-x}$=lg1=0，
∴當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
必要性：由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，即f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）+f（-x）=lg（ $\frac{2a-1-x}{1+x}$）+lg（ $\frac{2a-1+x}{1-x}$）=0，
化簡(jiǎn)得（2a-1）²=1，
∵a＞0，∴a=1，
∴當(dāng)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查充要性的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．