【題目】將一張紙沿直線l對折一次后,點(diǎn)A(0,4)與點(diǎn)B(8,0)重疊,點(diǎn)C(6,8)與點(diǎn)D(m,n)重疊.
(1)求直線l的方程;
(2)求m+n的值;
(3)直線l上是否存在一點(diǎn)P,使得||PB|﹣|PC||存在最大值,如果存在,請求出最大值,以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N,則點(diǎn)N(4,2),且

則直線l的方程為2x﹣y﹣6=0


(2)解:設(shè)直線CD的方程為x+2y+C'=0

∵C(6,8)在直線CD上,∴C'=﹣22,則直線CD的方程為x+2y﹣22=0

設(shè)直線CD與直線l的交點(diǎn)為M,

,∴


(3)解:假設(shè)直線l上存在點(diǎn)P,

∵||PB|﹣|PC||=||PA|﹣|PC||≥|AC|

當(dāng)且僅當(dāng)P,A,C三點(diǎn)共線時(shí),等號成立

直線AC的方程為x﹣3y+12=0

,∴P(6,6)


【解析】(1)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N,則點(diǎn)N(4,2),且 ,即可求出直線l的方程;(2)求出直線CD的方程,可得直線CD與直線l的交點(diǎn)坐標(biāo),即可求m+n的值;(3)假設(shè)直線l上存在點(diǎn)P,利用||PB|﹣|PC||=||PA|﹣|PC||≥|AC|,得出結(jié)論.

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