Question

5．已知拋物線y=x²在點(diǎn)A（2，4）處的切線為m．
（1）求切線m的方程；
（2）若切線m經(jīng)過橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，求該橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率．
（2）求出切線與x軸、y軸的交點(diǎn)，即可求c，b，a

解答 解：（1）由y=x²，得：y′=2x，∴y′|_x=2=-4，
所以，拋物線y=x²在點(diǎn)（2，4）處的切線方程為y-4=4（x-2），即y=4x-4．
切線m的方程：y=4x-4；
（2）切線m的方程：y=4x-4，交x軸于點(diǎn)A（I，0），即橢圓的焦點(diǎn)（1，0），
交y軸于點(diǎn)B（0，-4），即橢圓下頂點(diǎn)（0，-4）
∴c=1，b=4，a=$\sqrt{17}$，
∴橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{17}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的切線方程，及橢圓的方程，屬于基礎(chǔ)題．