Question

11．如圖，四棱錐P-ABCD中，所有棱長均為2，O是底面正方形ABCD中心，E為PC中點，則直線OE與直線PD所成角為（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 45°
• D． 90°

Answer 1

分析 可連接BD，AC，OP，由已知條件便知這三直線兩兩垂直，從而可分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，可設(shè)棱長為2，從而可求出圖形中一些點的坐標，據(jù)向量夾角的余弦公式便可求出

解答 解：根據(jù)條件知，P點在底面ABCD的射影為O，
連接AC，BD，PO，則OB，OC，OP三直線兩兩垂直，
從而分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系：
設(shè)棱長為2，則：O（0，0，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），
PP（0，0，$\sqrt{2}$），E（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，
A（0，-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0，0），D（-$\sqrt{2}$，0，0）
∴$\overrightarrow{OE}=（0，\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{PD}=（-\sqrt{2}，0，-\sqrt{2}）$，
∴$COS＜\overrightarrow{OE}，\overrightarrow{PD}＞=\frac{\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{OE|}|\overrightarrow{PD}|}=-\frac{1}{2}$
∴OE與PD所成角為60°．故選：B．

點評 考查建立空間直角坐標系，利用空間向量求異面直線所成角的方法，能求空間點的坐標，向量夾角的余弦的坐標公式，弄清異面直線的方向向量的夾角和異面直線所成角的關(guān)系．