Question

13．如圖，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長(zhǎng)均為2，它們所在平面互相垂直，F(xiàn)D⊥平面ABCD，且$FD=\sqrt{3}$．
（1）若∠BCD=60°，求證：BC⊥EF；
（2）若∠CBA=60°，求直線(xiàn)AF與平面FBE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于H，連接HD，證明四邊形EHDF為平行四邊形，可得EF∥HD，即可證明BC⊥EF；
（2）若∠CBA=60°，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面EBF的法向量，即可求直線(xiàn)AF與平面FBE所成角的正弦值．

解答 （1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于H，連接HD，∴EH=$\sqrt{3}$．
∵平面ABCD⊥平面BCE，EH?平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，
∴EH⊥平面ABCD．
又∵FD⊥平面ABCD，F(xiàn)D=$\sqrt{3}$，∴FD∥EH，且FD=EH．
∴四邊形EHDF為平行四邊形，
∴EF∥HD，
在等邊三角形BCD中，BC⊥DH，則BC⊥EF．
（2）解：連接HA，由（1），得H為BC中點(diǎn)，又∠CBA=60°，△ABC為等邊三角形，
∴HA⊥BC，分別以HB，HA，HE為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz．
則B（1，0，0），F(xiàn)（-2，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），E（0，0，$\sqrt{3}$），A（0，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{BF}$=（-3，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BA}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BE}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AF}$=（-2，0，$\sqrt{3}$），
設(shè)平面EBF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\\{-x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$令z=1，
得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，2，1），∴直線(xiàn)AF與平面EBF所成角的正弦值為|$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{4+3}•\sqrt{3+4+1}}$|=$\frac{\sqrt{42}}{28}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明，考查直線(xiàn)AF與平面EBF所成角的正弦值的求法，考查向量法在立體幾何中的應(yīng)用，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．