Question

3．設(shè)f（x）=x³+ax²+bx+1的導(dǎo)數(shù)f'（x）滿足f'（1）=2a，f'（2）=-b，其中常數(shù)a，b∈R．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）；
（Ⅱ） 設(shè)g（x）=f'（x）e^-x，求函數(shù)g（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），由條件列出方程組求出a、b的值，代入后求出f（x）；
（Ⅱ）由（1）求出g（x）并化簡(jiǎn)，根據(jù)求導(dǎo)公式和法則求出g′（x），求出g′（x）=0的根后，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出g（x）的單調(diào)區(qū)間，由極值的定義求出函數(shù)g（x）的極值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，f′（x）=3x²+2ax+b，
∵f'（1）=2a，f'（2）=-b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+2a+b=2a}\\{12+4a+b=-b}\end{array}\right.$，解得a=$-\frac{3}{2}$，b=-3，
則f（x）=x³$-\frac{3}{2}$x²+3x+1；
（Ⅱ）由（1）得，f′（x）=3x²-3x-3，
∴g（x）=f'（x）e^-x=3（x²-x-1）e^-x=$3•\frac{{x}^{2}-x-1}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$3•\frac{{（x}^{2}-x-1）′{e}^{x}-（{x}^{2}-x-1）（{e}^{x}）′}{{（e}^{x}）^{2}}$=$3•\frac{-{x}^{2}+3x}{{e}^{x}}$，
由g′（x）=0得x=0或x=3，
∴當(dāng)0＜x＜3時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x＜0或x＞3時(shí)g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，3）上遞增，在（-∞，0）和（3，+∞）上遞減，
即當(dāng)x=0時(shí)，g（x）取到極小值g（0）=-3，
當(dāng)x=3時(shí)，g（x）取到極大值g（3）=$\frac{15}{{e}^{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求導(dǎo)公式和法則，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值的關(guān)系，考查了方程思想，化簡(jiǎn)、變形能力．