Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面為直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1．
（1）求證：CD⊥PC
（2）設(shè)M為PD的中點，證明：CM∥平面PAB
（3）若PA=1，求側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AC⊥CD，PA⊥CD，從而CD⊥平面PAC，由此能證明CD⊥PC．
（2）取PA的中點N，連接BN、NM，推導(dǎo)出四邊形BCMN為平行四邊形，從而CM∥BN，由此能證明CM∥平面PAB．
（3）在平面ABCD中，AB與CD不平行，延長AB、CD交于一點，設(shè)為E，連接PE，則PE為側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的棱，過A作AF⊥PE于F，連接DF，則∠AFD為側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角，由此能求出側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角的正切值．

解答 證明：（1）由已知得AC=2   CD=2，
∵AC²+CD²=AD²，
∴∠ACD=90°，即AC⊥CD．
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．∵PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．∵PC?平面PAC，
∴CD⊥PC． （4分）
（2）取PA的中點N，連接BN、NM，在△PAD中，MN∥AD，且MN=1
又BC∥AD，且BC=1，所以MN∥BC，且MN=BC
即四邊形BCMN為平行四邊形，CM∥BN．
又CM?平面PAB，BN?平面PAB，故CM∥平面PAB．…（8分）
解：（3）在平面ABCD中，AB與CD不平行，延長AB、CD交于一點，設(shè)為E，
連接PE，則PE為側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的棱，
又由題設(shè)可知DA⊥側(cè)面PAB，于是過A作AF⊥PE于F，
連接DF，可得DF⊥PE，
可知∠AFD為側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角．…（10分）
在△EAD中，由BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}$AD
知B為AE為中點，∴AE=2，
在Rt△PAE中，PA=1，AE=2，∴PE=$\sqrt{5}$，AF=$\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，故tan∠AFD=$\sqrt{5}$，
∴側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角的正切值為$\sqrt{5}$．（14分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．