Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax-2，（a∈R）
（l）若f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若g（x）=

f′(x)-a，x≤0 1 x ， x＞1

，且f（x₀）=3，求x₀的值．
（3）若g（x）=

af′(x-1)，x≤1 1 x ，x＞1

，且在R上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)導數(shù)的意義，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，則f′（x）=3x²+a≥0，在（1，+∞）上恒成立．從而解得a≥-3．
（2）首先化簡g（x）的解析式，由f（x₀）=3可得

x0≤0 g(x0)=3x02=3

或

x0＞0 g(x0)= 1 x0 =3

．進而求出x₀的值．
（3）首先化簡g（x）的解析式，畫出函數(shù)圖象．依據(jù)圖象即可得出當g（x）為減函數(shù)時實數(shù)a的取值范圍為a≥1．

解答： 解；（1）f′（x）=3x²+a，
∵f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）=3x²+a≥0，在（1，+∞）上恒成立．
即a≥-3x²在（1，+∞）上恒成立．
∴a≥-3．
∴a的取值范圍是[-3，+∞）．
（2）g(x)=

f′(x)-a，x≤0 1 x ，x＞0

，
即g(x)=

3x2，x≤0 1 x ，x＞0

．
由f（x₀）=3，
則

x0≤0 g(x0)=3x02=3

或

x0＞0 g(x0)= 1 x0 =3

．
∴x₀=-1或x0=

1

3

．
（3）g(x)=

af′(x-1)，x≤1 1 x ，           x＞1

．
即g(x)=

3a(x-1)2+a2，x≤1 1 x ，                     x＞1

．
如右，圖畫出個g（x）的草圖，
∵g（x）在R上是減函數(shù)，
∴

a＞0 a2≥1

．
∴a≥1．

點評：本題考查導數(shù)在最大最小值的應用，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應用．屬于難題．