Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n（n=1，2，3…），給出下列四個命題：
①數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
②數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列；
③?常數(shù)c＞0，使

n

i=1

1

ai

≤c（n∈N⁺）恒成立；
④若S_n（3a_n-2γ）+2≥0（n=1，2，3…）恒成立，則γ∈（+∞，

10

3

）．
以上命題中正確的命題是

 

（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：①求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷．
②求出數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷．
③求出

n

i=1

1

ai

≤c(n∈N+)的數(shù)值，根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
④將S_n（3a_n-2γ）+2≥0（n=1，2，3…）恒成立，利用參數(shù)分離法求γ的取值范圍即可進(jìn)行判斷．

解答： 解：①∵a₁=1，a_n+1=2S_n，
∴a_n+2=2S_n+1，
兩式相減得a_n+2-a_n+1=2S_n+1-2S_n=2a_n+1，
即a_n+2=3a_n+1，
即

an+2

an+1

=3，（n≥2），
當(dāng)n=1時，a₂=2a₁=2，

a2

a1

=2≠3，
∴數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；∴①錯誤．
②a_n+1=2S_n=S_n+1-S_n，
即3S_n=S_n+1，
∴

Sn+1

Sn

=3，（n≥1），
即數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列；∴②正確．
③由①知，當(dāng)n≥2時，an=a23n-2=2•3^n-2，a₁=1，
則

1

an

=

1

2

•(

1

3

)n-2，n≥2，

1

a1

=1，
則

n

i=1

1

ai

=

1

a1

+

1 2 (1-( 1 3 )n-2)

1- 1 3

=1+

3

4

-

3

4

(

1

3

)n-2＜

7

4

，
∴當(dāng)c≥

7

4

時，使

n

i=1

1

ai

≤c(n∈N+)恒成立；∴③正確．
④由S_n（3a_n-2γ）+2≥0得3S_na_n-2γS_n+2≥0，
即γ≤

3Snan+2

2Sn

（n=1，2，3…）恒成立，
當(dāng)n=1時，γ≤

3a1a1+2

2a1

=

5

2

，
當(dāng)n≥2時，γ≤

3Snan+2

2Sn

=

3

2

an+

1

Sn

=

3

2

an+

2

an+1

=

3

2

×2?3n-2+

2

2?3n-1

=3n-1+

1

3n-1

≥2

3n-1? 1 3n-1

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)3n-1=

1

3n-1

，即3^n-1=1，n=1取等號，此時不成立．
設(shè)t=3^n-1，當(dāng)n≥2時，t≥3，
∵y=3n-1+

1

3n-1

=t+

1

t

在[3，+∞）上單調(diào)遞增，
∴y≥3+

1

3

=

10

3

，
∴要使γ≤

3Snan+2

2Sn

（n=1，2，3…）恒成立，
則γ≤

10

3

，
即γ∈(-∞，

10

3

]，∴④錯誤．
故正確的是②③，
故答案為：②③．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的遞增公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．正確應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式是解決本題的關(guān)鍵．