Question

9．為加快新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，推進節(jié)能減排，國家對消費者購買新能源汽車給予補貼，其中對純電動乘用車補貼標準如表：

新能源汽車補貼標準
車輛類型	續(xù)駛里程R（公里）
	100≤R＜180	180≤R＜280	＜280
純電動乘用車	2.5萬元/輛	4萬元/輛	6萬元/輛

某校研究性學習小組，從汽車市場上隨機選取了M輛純電動乘用車，根據(jù)其續(xù)駛里程R（單次充電后能行駛的最大里程）作出了頻率與頻數(shù)的統(tǒng)計表：

分組	頻數(shù)	頻率
100≤R＜180	3	0.3
180≤R＜280	6	x
R≥280	y	z
合計	M	1

（1）求x、y、z、M的值；
（2）若從這M輛純電動乘用車任選3輛，求選到的3輛車續(xù)駛里程都不低于180公里的概率；
（3）如果以頻率作為概率，若某家庭在某汽車銷售公司購買了2輛純電動乘用車，設(shè)該家庭獲得的補貼為X（單位：萬元），求X的分布列和數(shù)學期望值E（X）．

Answer 1

分析 （1）由頻率與頻數(shù)的統(tǒng)計表列出方程組，能求出x、y、z、M的值．
（2）從這M輛純電動乘用車任選3輛，基本事件總數(shù)n=${C}_{10}^{3}$=120，10輛車中，有7輛車續(xù)駛里程不低于180公里，選到的3輛車續(xù)駛里程都不低于180公里包含的基本事件個數(shù)m=${C}_{7}^{3}$=35，由此能求出選到的3輛車續(xù)駛里程都不低于180公里的概率．
（3）由題意知X的可能取值為5，6.5，8，8.5，10，12，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{M}=0.3}\\{\frac{6}{M}=x}\\{3+6+y=M}\\{0.3+x+z=1}\end{array}\right.$，
解得x=0.6，y=1，z=0.1，M=10．
（2）從這M輛純電動乘用車任選3輛，
基本事件總數(shù)n=${C}_{10}^{3}$=120，
10輛車中，有7輛車續(xù)駛里程不低于180公里，
選到的3輛車續(xù)駛里程都不低于180公里包含的基本事件個數(shù)m=${C}_{7}^{3}$=35，
∴選到的3輛車續(xù)駛里程都不低于180公里的概率p=$\frac{35}{120}$=$\frac{7}{24}$．
（3）由題意知X的可能取值為5，6.5，8，8.5，10，12，
P（X=5）=0.3²=0.09，
P（X=6.5）=${C}_{2}^{1}0.3×0.6=0.36$，
P（X=8）=0.6²=0.36，
P（X=8.5）=${C}_{2}^{1}0.3×0.1$=0.06，
P（X=10）=${C}_{2}^{1}0.1×0.6=0.12$，
P（X=12）=0.1²=0.01，
∴X的分布列為：

X	5	6.5	8	8.5	10	12
P	0.09	0.36	0.36	0.06	0.12	0.01

E（X）=5×0.09+6.5×0.36+8×0.36+8.5×0.06+10×0.12+12×0.01=7.5．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．