Question

18．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，平面AED⊥平面ABCD，AB=$\sqrt{2}$EA=$\sqrt{2}$ED，EF∥BD
（ I）證明：AE⊥CD
（ II）在棱ED上是否存在點M，使得直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$？若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）利用面面垂直的性質(zhì)得出CD⊥平面AED，故而AE⊥CD；
（II）取AD的中點O，連接EO，以O(shè)為原點建立坐標系，設(shè)$\frac{EM}{ED}=λ$，求出平面BDEF的法向量$\overrightarrow{n}$，令|cos＜$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，根據(jù)方程的解得出結(jié)論．

解答 （I）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥平面AED，∵AE?平面AED，
∴AE⊥CD．
（II）解：取AD的中點O，過O作ON∥AB交BC于N，連接EO，
∵EA=ED，∴OE⊥AD，又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，OE?平面AED，
∴OE⊥平面ABCD，
以O(shè)為原點建立空間直角坐標系O-xyz，如圖所示：
設(shè)正方形ACD的邊長為2，$\frac{EM}{ED}=λ$，
則A（1，0，0），B（1，2，0），D（-1，0，0），E（0，0，1），M（-λ，0，1-λ）
∴$\overrightarrow{AM}$=（-λ-1，0，1-λ），$\overrightarrow{DE}$=（1，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
設(shè)平面BDEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{x+z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{3}•\sqrt{2{λ}^{2}+2}}$，
令|$\frac{-2}{\sqrt{3}•\sqrt{2{λ}^{2}+2}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得λ=0，
∴當M與點E重合時，直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，空間向量與線面角的計算，屬于中檔題．