20.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+a|,g(x)=|x-2|+1.
(1)當(dāng)a=2時(shí),解不等式f(x)≥5;
(2)若對(duì)任意x1∈R,都存在x2∈R,使得g(x2)=f(x1)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)將a=2代入f(x),通過討論x的范圍求出各個(gè)區(qū)間上的不等式的解集,取并集即可;
(2)問題轉(zhuǎn)化為{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},分別求出f(x),g(x)的范圍,得到關(guān)于a的不等式組,解出即可.

解答 解:(1)當(dāng)a=2時(shí),$f(x)=|x-1|+|x+2|=\left\{\begin{array}{l}-2x-1,x≤-2\\ 3,-2<x<1\\ 2x+1,x≥1\end{array}\right.$
∴f(x)≥5,即$\left\{\begin{array}{l}x≤-2\\-2x-1≥5\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-2<x<1\\ 3≥5\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ 2x+1≥5\end{array}\right.$,
∴x≥2或x≤-3,
∴不等式f(x)≥5的解集為(-∞,-3]∪[2,+∞).
(2)∵對(duì)任意x1∈R,都存在x2∈R,使得g(x2)=f(x1)成立,
∴{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},
f(x)=|x-1|+|x+a|≥|(x-1)-(x+a)|=|a+1|,
(當(dāng)且僅當(dāng)(x-1)(x+1)≤0時(shí)等號(hào)成立),g(x)=|x-2|+1≥1,
所以|a+1|≥1,∴a+1≥1或a+1≤-1,
∴a≥0或a≤-2,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-2]∪[0,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題,考查集合的包含關(guān)系,是一道中檔題.

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