Question

對于三次函數(shù)，定義：設是函數(shù)的導函數(shù)的導數(shù)，若有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”．已知函數(shù)，請解答下列問題：

（Ⅰ）求函數(shù)的“拐點”A的坐標；

（Ⅱ）求證的圖象關(guān)于“拐點”A對稱，并寫出對于任意三次函數(shù)都成立的有關(guān)“拐點”的一個結(jié)論（不需證明）；

（Ⅲ）設是函數(shù)的兩個極值點，求證：線段與曲線存在異于的共同點；

（Ⅳ）若另一個三次函數(shù)的“拐點”為，當，試比較與的大�。�

Answer 1

解：（Ⅰ）

令得

所以“拐點”A的坐標為

（Ⅱ）設是圖象上任意一點，則

關(guān)于的對稱點，

把代入，得左邊

右邊=

所以左邊=右邊，所以在圖象上，

所以的圖象關(guān)于“拐點”A對稱．

結(jié)論：任何三次函數(shù)的拐點都是它的對稱中心（表達方式不唯一）

（Ⅲ）設，

因為是函數(shù)的兩個極值點，所以是的兩根，

又  所以

所以關(guān)于“拐點”A對稱

所以線段與曲線存在異于的共同點A

（Ⅳ）有題意知，

 

 

=  

當時，，

當時，