Question

11．對(duì)任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$≥x²-x-11恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　　）

• A． [-3，4]
• B． [0，2]
• C． [-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]
• D． [-4，5]

Answer 1

分析 利用基本不等式的性質(zhì)得出$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$最小值．根據(jù)對(duì)任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$≥x²-x-11恒成立，可得x²-x-11≤9，即可得出實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答 解：∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$=（sin²θ+cos²θ）（$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$）
=5+4tan²θ+$\frac{1}{ta{n}^{2}θ}$≥5+4=9，當(dāng)且僅當(dāng)tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∵對(duì)任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$≥x²-x-11恒成立，
∴x²-x-11≤9，
∴-4≤x≤5，
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是[-4，5]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．