Question

7．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足x＞$\frac{1}{2}$，y＞1，不等式$\frac{4{x}^{2}}{y-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x-1}$≥m恒成立，則m的最大值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 不等式$\frac{4{x}^{2}}{y-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x-1}$≥m恒成立，轉(zhuǎn)化為求$\frac{4{x}^{2}}{y-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x-1}$的最小值，可得m的最大值．將分母轉(zhuǎn)化為整數(shù)，設(shè)y-1=b，則y=b+1，令2x-1=a，x=$\frac{1}{2}$（a+1），利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)y-1=b，則y=b+1，令2x-1=a，x=$\frac{1}{2}$（a+1），a＞0，b＞0．
那么：$\frac{4{x}^{2}}{y-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x-1}$=$\frac{（b+1）^{2}}{a}+\frac{（a+1）^{2}}≥2\frac{（a+1）（b+1）}{\sqrt{ab}}$=$\frac{ab+（a+b）+1}{\sqrt{ab}}=2（\frac{1}{\sqrt{ab}}+\sqrt{ab}+\frac{a+b}{\sqrt{ab}}）$$≥2（2\sqrt{\sqrt{ab}•\frac{1}{\sqrt{ab}}}+\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}）=2（2+2）=8$（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1即x=2，y=1時(shí)取等號．
∴$\frac{4{x}^{2}}{y-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x-1}$的最小值為8，
則m的最大值為8．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)的運(yùn)用解決恒成立的問題，利用了換元法轉(zhuǎn)化求解，多次使用基本不等式式解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．