Question

8．若$n=3\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{（sinx+cosx）dx}$，則${（y+\frac{2}{y}）^n}$的展開式中的常數(shù)項為160．

Answer 1

分析 $n=3\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{（sinx+cosx）dx}$，=3$（sinx-cosx）{|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=6．利用$（y+\frac{2}{y}）^{6}$的展開式中的通項公式即可得出．

解答 解：$n=3\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{（sinx+cosx）dx}$=3$（sinx-cosx）{|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=6．
則$（y+\frac{2}{y}）^{6}$的展開式中的通項公式：T_r+1=${∁}_{6}^{r}$y^6-r$（\frac{2}{y}）^{r}$=2^r${∁}_{6}^{r}$y^6-2r，
令6-2r=0，解得r=3．
∴常數(shù)項=${2}^{3}{∁}_{6}^{3}$=160．
故答案為：160．

點評 本題考查了微積分基本定理、二項式定理的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．