Question

20．如圖，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=2，AB⊥AC，D，E，F(xiàn)分別是A₁B₁，CC₁，BC的中點(diǎn)． 
（1）求證：AE⊥DF；
（2）求AE與平面DEF所成角的大小及點(diǎn)A到平面DEF的距離．

Answer 1

分析 （1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)、AB為x軸、AC為y軸、AA₁為z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系．求出相關(guān)的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為0，證明$\overrightarrow{AE}⊥\overrightarrow{DF}$，推出AE⊥DF． 
（2）求出平面DEF的一個(gè)法向量，設(shè)AE與平面DEF所成角為θ，利用向量的數(shù)量積求解AE與平面DEF所成角，然后求解點(diǎn)A到平面DEF的距離．

解答 解：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)、AB為x軸、AC為y軸、AA₁為z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系．

由題意可知A（0，0，0），D（0，1，2），E（-2，0，1），F(xiàn)（-1，1，0），
故$\overrightarrow{AE}=（-2，0，1），\overrightarrow{DF}=（-1，0，-2）$，…（4分）
由$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{DF}=-2×（-1）+1×（-2）=0$，
可知$\overrightarrow{AE}⊥\overrightarrow{DF}$，即AE⊥DF．  …（6分）
（2）設(shè)$\overrightarrow n=（x，y，1）$是平面DEF的一個(gè)法向量，
又$\overrightarrow{DF}=（-1，0，-2），\overrightarrow{EF}=（1，1，-1）$，
故由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{DF}=-x-2=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{EF}=x+y-1=0}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}}\right.$故$\overrightarrow n=（-2，3，1）$．  …（9分）
設(shè)AE與平面DEF所成角為θ，則$sinθ=\frac{{|\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}|}}{{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow{AE}|}}=\frac{5}{{\sqrt{14}•\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{70}}}{14}$，…（12分）
所以AE與平面DEF所成角為$arcsin\frac{{\sqrt{70}}}{14}$，
點(diǎn)A到平面DEF的距離為$AE•sinθ=\frac{5}{14}\sqrt{14}$． …（14分）

點(diǎn)評 本題考查直線與平面所成角的求法，直線與直線垂直的判定方法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．