Question

9．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)O，左焦點(diǎn)為F₁，圓O過點(diǎn)F₁，且與雙曲線的一個交點(diǎn)為P，若直線PF₁的斜率為$\frac{1}{3}$，則雙曲線的漸近線方程為（　�。�

• A． y=±x
• B． y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$x
• C． y=±$\frac{\sqrt{6}}{4}$x
• D． y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），設(shè)P為右支上一點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F₂，可得PF₁⊥PF₂，運(yùn)用雙曲線的定義和正切函數(shù)的定義，以及勾股定理可得2c²=5a²，再由a，b，c的關(guān)系，可得a，b的關(guān)系，即可得到所求漸近線方程．

解答 解：設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
圓O過點(diǎn)F₁，且與雙曲線的一個交點(diǎn)為P，
設(shè)P為右支上一點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F₂，
可得PF₁⊥PF₂，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
直線PF₁的斜率為$\frac{1}{3}$，可得$\frac{|P{F}_{2}|}{|P{F}_{1}|}$=$\frac{1}{3}$，
解得|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
再由勾股定理可得，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
即有9a²+a²=4c²，即2c²=5a²=2（a²+b²），
可得3a²=2b²，
即為$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
可得雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即為y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和圓的性質(zhì)，以及勾股定理的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．