Question

10．已知四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，SA=SD=$\sqrt{5}，SB=\sqrt{7}$，點E是棱AD的中點，點F在棱SC上，且$\overrightarrow{SF}=λ\overrightarrow{SC}$，SA∥平面BEF．
（Ⅰ）求實數(shù)λ的值；
（Ⅱ）求二面角S-BE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BE=G，證明SA∥FG，通過△GEA～△GBC，求解λ即可．
（Ⅱ）以EA，EB，ES所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，求出平面SEB的法向量，平面EFB的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解所求二面角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BE=G，
則平面SAC∩平面EFB=FG，
∵SA∥平面EFB，∴SA∥FG，∵△GEA～△GBC，
∴$\frac{AG}{GC}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{SF}{FC}=\frac{AG}{GC}=\frac{1}{2}⇒SF=\frac{1}{3}SC$，
∴$λ=\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）∵$SA=SD=\sqrt{5}$，∴SE⊥AD，SE=2，
又∵AB=AD=2，∠BAD=60°，∴$BE=\sqrt{3}$∴SE²+BE²=SB²，∴SE⊥BE，∴SE⊥平面ABCD，
以EA，EB，ES所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則$A（1，0，0），B（0，\sqrt{3}，0），S（0，0，2）$，平面SEB的法向量$\overrightarrow m=\overrightarrow{EA}=（1，0，0）$，
設(shè)平面EFB的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\overrightarrow n⊥EB⇒（x，y，z）•（0，\sqrt{3}，0）=0⇒y=0$，$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{GF}⇒\overrightarrow n⊥\overrightarrow{AS}⇒（x，y，z）•（-1，0，2）=0⇒x=2z$，
令z=1，得$\overrightarrow n=（2，0，1）$，∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
即所求二面角的余弦值是$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查空間向量的數(shù)量積的應用，二面角的平面角的求法，直線與平面的位置關(guān)系的應用，考查空間想象能力以及計算能力．