Question

9．設函數(shù)$f（x）=ax-\frac{a}{x}-2lnx$．
（1）若f'（2）=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)f′（2）=0，求出a的值，求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$對x＞0恒成立，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）因為f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（2）=0，且f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$，
所以a+$\frac{a}{4}$-1=0，所以a=$\frac{4}{5}$，
所以f′（x）=$\frac{4}{5}$+$\frac{4}{{5x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{2}{{5x}^{2}}$（2x²-5x+2），
由f′（x）＞0結(jié)合x＞0，得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞2；
由f′（x）＜0及x＞0，得$\frac{1}{2}$＜x＜2．
所以f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）和（2，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，2）內(nèi)是減函數(shù)．
（2）若f（x）在定義域上是增函數(shù)，
則f′（x）≥0對x＞0恒成立，
因為f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{{ax}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，
所以需x＞0時ax²-2x+a≥0恒成立．
化為a≥$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$對x＞0恒成立，
因為$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤1，
當且僅當x=1時取等號，
所以a≥1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．