已知橢圓：（）過點(diǎn)，且橢圓的離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)在直線上，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)，且為線段中點(diǎn)，再過作直線.證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

（Ⅰ）（Ⅱ）直線恒過定點(diǎn)

解析試題分析：(Ⅰ)點(diǎn)在橢圓上，將其代入橢圓方程，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/59/8/1dhhs4.png" style="vertical-align:middle;" />，且，解方程組可得。（Ⅱ）點(diǎn)在直線上，則可得。當(dāng)直線的斜率存在時(shí)設(shè)斜率為，得到直線方程，聯(lián)立方程消掉得關(guān)于的一元二次方程。再根據(jù)韋達(dá)定理可得根與系數(shù)的關(guān)系。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6f/a/1t6oc4.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)解得。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/9b/5/jnf27.png" style="vertical-align:middle;" />故可得直線的斜率，及其含參數(shù)的方程。分析可得直線是否恒過定點(diǎn)。注意還要再討論當(dāng)直線的斜率不存在的情況。
試題解析：解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，
所以，                   1分
因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即，    2分
解得，              4分
所以橢圓的方程為.                        5分
（Ⅱ）設(shè)，，
①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，
由得， 7分
所以，                             8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6f/a/1t6oc4.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn)，所以，即.
所以，                              9分
因?yàn)橹本�，所以，
所以直線的方程為，即 ，
顯然直線恒過定點(diǎn).                           11分
②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，
此時(shí)直線為軸，也過點(diǎn).                     13分
綜上所述直線恒過定點(diǎn).                       14

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知平面五邊形關(guān)于直線對稱（如圖（1）），，，將此圖形沿折疊成直二面角，連接、得到幾何體（如圖（2））

（1）證明：平面；
（2）求平面與平面的所成角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓： 的離心率為 ，點(diǎn) 為其下焦點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過 的直線 ：（其中）與橢圓 相交于兩點(diǎn)，且滿足：.

（1）試用  表示 ；
（2）求  的最大值；
（3）若 ，求  的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)和,圓是以為圓心,半徑為的圓,點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點(diǎn).
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；
（Ⅱ）已知，是曲線上的兩點(diǎn)，若曲線上存在點(diǎn)，滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：經(jīng)過如下五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)：，，，，.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為橢圓上不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)，若原點(diǎn)在的外部，且為直角三角形，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)是（1，0），兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)Q（4，0）且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的
對稱點(diǎn)為A1．求證：直線A1B過x軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為且與雙曲線：有共同焦點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓落在第一象限的圖像上任取一點(diǎn)作的切線，求與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值；
（3）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過橢圓上的一點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，，連結(jié)交于點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且與有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在橢圓和上, ,求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點(diǎn)C在l上.
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn). 問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由.

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