Question

已知2^x≤（

1

4

）^x-3．
（1）求此不等式的解集
（2）求函數y=ax2-6x（a＞0，且a≠1）的值域．

Answer 1

考點：指、對數不等式的解法,函數的值域

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）由2^x≤（

1

4

）^x-3 可得 2^x≤2^6-2x，由此求得不等式的解集．
（2）對于函數y=ax2-6x，令t=x²-6x=（x-3）²-9，求得t的范圍，再根據y=a^t，分當a＞1時和當0＜a＜1時兩種情況，分別根據指數函數的單調性求的函數y的值域．

解答： 解：（1）由2^x≤（

1

4

）^x-3 可得 2^x≤2^6-2x，∴x≤6-2x，即 x≤2，
故不等式的解集為 {x|x≤2}．
（2）對于函數y=ax2-6x，令t=x²-6x=（x-3）²-9，∵x≤2，∴t≥-8，
再根據y=a^t，當a＞1時，值域為{y|y≥a^-8}；當0＜a＜1時，值域為{y|0＜y≤a^-8}．

點評：本題主要考查指數函數的單調性，二次函數的性質，街指數不等式，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．