Question

P為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁對(duì)角線BD₁上的一點(diǎn)，且BP=λBD₁（λ∈（0，1））．下面命題正確的為：

 

（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）：
①A₁D⊥C₁P；     
②若BD₁⊥平面PAC，則λ=

1

3

；
③若△PAC為鈍角三角形，則λ∈（0，

1

2

）；
④若λ∈（0，

1

2

），則△PAC為銳角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：畫出圖形，直接判斷①A₁D⊥C₁P的正誤；
利用正方體的特征，判斷②若BD₁⊥平面PAC，則λ=

1

3

的正誤；
通過(guò)λ=

1

2

，判斷△PAC是否為鈍角三角形，判斷λ∈（0，

1

2

）的正誤；
通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，判斷④λ∈（0，

1

2

），則△PAC為銳角三角形，判斷④的正誤．

解答： 解：如圖①中，A₁D⊥面ABC₁D₁，C₁P?面ABC₁D₁ ∴A₁D⊥C₁P  故①正確；
對(duì)于②若BD₁⊥平面PAC，幾何體是正方體，∴P在平面AB₁C中，則λ=

1

3

；②正確；
對(duì)于③，當(dāng)P為BD₁的中點(diǎn)時(shí)，若△PAC為鈍角三角形，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，PA=PC=

3

2

a，AC=

2

a，此時(shí)∠APC=120°，∴則λ∈（0，

1

2

），③不正確；
對(duì)于④，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)|AB|=1，則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），D₁（0，0，1），
∴

BD1

=（-1，-1，1），

BP

=λ

BD1

=（-λ，-λ，λ），

PA

=

PB

+

BA

=（λ，λ-1，-λ），

PC

=

PB

+

BC

=（λ-1，λ，-λ）
顯然∠APC不是平角，所以∠APC為銳角等價(jià)于cos∠APC=cos＜

PA

，

PC

＞=

PA • PC

︳ PA ︳| PB |

＞0，則等價(jià)于

PA

•

PC

＞0
即，λ（λ-1）+（λ-1）λ+（-λ）（-λ）=λ（3λ-2）＞0，

2

3

＜λ＜1，④不正確；
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，夾角與距離的關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．