Question

11．已知向量$\overrightarrow{OP}=（2，1）$，$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}=（5，1）$，設(shè)M是直線OP上任意一點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的最小值為-8．

Answer 1

分析 由題意設(shè)$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OP}$，則$\overrightarrow{OM}=（2λ，λ）$，λ∈R，利用向量三角形減法法則求得$\overrightarrow{MA}、\overrightarrow{MB}$的坐標(biāo)，得到關(guān)于λ的二次函數(shù)求最值．

解答 解：由題意設(shè)$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OP}$，則$\overrightarrow{OM}=（2λ，λ）$，λ∈R，
又$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}=（5，1）$，
∴$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}=（1-2λ，7-λ）$，$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}=（5-2λ，1-λ）$．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（1-2λ，7-λ）•（5-2λ，1-λ）=（1-2λ）（5-2λ）+（7-λ）（1-λ）
=5λ²-20λ+12．
對(duì)稱軸方程為λ=2，
∴當(dāng)λ=2時(shí)，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的最小值為5×2²-20×2+12=-8．
故答案為：-8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)求最值，是中檔題．