Question

（2013•德州二模）若對于定義在R上的函數(shù)f（x），存在常數(shù)t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）=0對任意實(shí)數(shù)x均成立，則稱f（x）是階回旋函數(shù)，則下面命題正確的是（　�。�

• A．f（x）=2^x是-

  1

  2

  階回旋函數(shù)
• B．f（x）=sin（πx）是1階回旋函數(shù)
• C．f（x）=x²是1階回旋函數(shù)
• D．f（x）=log_ax是0階回旋函數(shù)

Answer 1

分析：直接利用f（x）是t階回旋函數(shù)的定義，逐個(gè)判斷即可得到結(jié)果．

解答：解：對于A，f（x）=2^x是-

1

2

階回旋函數(shù)，則2x-

1

2

+（-

1

2

）2^x=(

2

2

-

1

2

)2x不恒為0，所以A不正確．
對于B，f（x）=sin（πx）是1階回旋函數(shù)，故有：sinπ（x+1）+sinπx=-sinπx+sinπx=0，對任意實(shí)數(shù)x成立，所以f（x）=sin（πx）是1階回旋函數(shù)．
對于C，f（x）=x²是1階回旋函數(shù)，則（x+1）²+x²=0對任意實(shí)數(shù)都成立，這個(gè)方程無解故f（x）=x²不是1階回旋函數(shù)，該函數(shù)不是回旋函數(shù)．C不正確．
對于D，f（x）=log_ax是0階回旋函數(shù)，則log_a（x+0）+0log_ax=log_ax，不恒為0，所以D不正確．
故選B．

點(diǎn)評：本題是新定義題，關(guān)鍵是理解新定義，利用新定義時(shí)，應(yīng)注意賦值法的運(yùn)用．