Question

【題目】已知函數(shù)，若曲線在點處的切線方程是，不等式的解集為非空集合，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）求的解析式，并用表示；

（Ⅱ）若任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)不等式的解集可知相應(yīng)方程的根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.

（Ⅱ）不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，令，根據(jù)其導(dǎo)數(shù)，分類討論其最小值，即可求出實數(shù)的取值范圍.

（Ⅰ）因為，

所以，∴，

∴，

因為，所以和為方程的兩根，

所以.

（Ⅱ），

因為，

由非空集合得，

令，

則，

又令，

則，

∴在上單調(diào)遞增，且，

①當(dāng)時，恒成立，

即函數(shù)在上單調(diào)遞增，

則，

②當(dāng)時，則，使且時，，即，即單調(diào)遞減，

時，，即，即單調(diào)遞增.

∴，∴只須滿足，

又，

從而，解得，

由，

令，

則，∴在上單調(diào)遞減，

則，

又，

故，

綜上.