Question

6．設(shè)雙曲線C以橢圓$\frac{x^2}{12}$+$\frac{y^2}{8}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且雙曲線C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為1．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+$\sqrt{2}$與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞2（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓與雙曲線的關(guān)系，求出c，然后求解b，a，即可求解雙曲線的方程．
（2）將$y=kx+\sqrt{2}$代入$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，利用直線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)，通過(guò)判別式大于0，求出k的范圍，設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理通過(guò)$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞2$，得x₁x₂+y₁y₂＞2，支行求解k的取值范圍即可．

解答 （本小題滿(mǎn)分13分）
解  （1）雙曲線C以橢圓$\frac{x^2}{12}$+$\frac{y^2}{8}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，可得c=2，
雙曲線C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為1．可得b=1，則a²=3．
雙曲線C方程為$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$．
（2）將$y=kx+\sqrt{2}$代入$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，得$（1-3{k^2}）{x^2}-6\sqrt{2}kx-9=0$
由直線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)，得$\left\{\begin{array}{l}1-3{k^2}≠0\\△={（-6\sqrt{2}k）^2}+36（1-3{k^2}）=36（1-{k^2}）＞0\end{array}\right.$
所以${k^2}≠\frac{1}{3}$且k²＜1．①
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{{6\sqrt{2}k}}{{1-3{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{-9}{{1-3{k^2}}}$
所以${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+（k{x_1}+\sqrt{2}）（k{x_2}+\sqrt{2}）$=$（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+\sqrt{2}k（{x_1}+{x_2}）+2=\frac{{3{k^2}+7}}{{3{k^2}-1}}$
又因?yàn)?\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞2$，得x₁x₂+y₁y₂＞2，所以$\frac{{3{k^2}+7}}{{3{k^2}-1}}＞2$
即$\frac{{-3{k^2}+9}}{{3{k^2}-1}}＞0$，解得$\frac{1}{3}＜{k^2}＜3$②
由①②得$\frac{1}{3}＜{k^2}＜1$
故k的取值范圍為$（-1，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）∪（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與雙曲線的關(guān)系，直線與雙曲線的綜合應(yīng)用，考查設(shè)而不求以及轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力．