【題目】已知定義在R上的奇函數
(1)求實數的值;
(2)判斷的單調性,并證明.
(3)若對任意的,不等式恒成立,求實數的取值范圍.
【答案】(1) m=1 (2)見解析(3)
【解析】
(1)由定義在實數集上的奇函數有f(0)=0列式求解,或直接由奇函數的定義得恒等式,由系數相等求解b的值;
(2)直接利用函數單調性的定義證明;
(3)由函數的奇偶性和單調性,把給出的不等式轉化為含有t的一元二次不等式,分離變量k后求二次函數的最值,則答案可求.
(1)解:法一、∵f(x)是定義在R上的奇函數,∴,∴m=1,經檢驗,函數為奇函數;
法二、由是奇函數,則
∴即對一切實數x都成立,
∴m=1;
(2)由(1)知,f(x)在R上是減函數.
證明:設x1,x2為R上的任意兩個實數,且x1<x2,
則
.
∵x1<x2,∴,,,
∴f(x1)﹣f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在R上是減函數;
(3)∵f(x)既是奇函數,又是實數集上的減函數,
∴不等式f(t﹣2t2)>f(t2﹣t﹣k)3t2﹣2t>k,
∴對t∈R恒成立,
∴.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數),在以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為.
(1)求曲線和直線在該直角坐標系下的普通方程;
(2)動點在曲線上,動點在直線上,定點的坐標為,求的最小值.
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【題目】口袋里共有4個球,其中有2個是白球,2個是黑球,這4個球除顏色外完全相同。4個人按順序依次從中摸出一個球(不放回),試計算第二個人摸到白球的概率.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC與BD交于點O,PC⊥底面ABCD, 點E為側棱PB的中點.
求證:(1) PD∥平面ACE;
(2) 平面PAC⊥平面PBD.
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【題目】某校高一的320名學生,在電腦培訓前后分別參加了一次水平相同的測試,考分都以統一標準劃分成“不合格”“合格”“優(yōu)秀”三個等級.為了了解電腦培訓的效果,用抽簽方式得到其中32名學生的兩次考分等級,所繪制的統計圖如圖所示.請結合圖中信息回答下列問題:
(1)這32名學生經過培訓,考分等級“不合格”的百分比由________下降到________;
(2)估計該校高一全體學生中,培訓后考分等級為“合格”和“優(yōu)秀”的學生共有________名.
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【題目】某股票在30天內每股的交易價格(元)與時間(天)組成有序數對,點落在如圖所示的兩條線段上,該股票在30天內的日交易量(萬股)與時間(天)的部分數據如表所示:
(1)根據提供的圖象,寫出該股票每股的交易價格與時間所滿足的函數關系式;
(2)根據表中數據確定日交易量與時間的一次函數關系式;
(3)在(1)(2)的結論下,若該股票的日交易額為(萬元),寫出關于的函數關系式,并求在這30天中第幾天的交易額最大,最大是多少?
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【題目】為了了解高三學生的心理健康狀況,某校心理健康咨詢中心對該校高三學生的睡眠狀況進行抽樣調查,隨機抽取了50名男生和50名女生,統計了他們進入高三后的第一個月平均每天睡眠時間,得到如下頻數分布表.規(guī)定:“平均每天睡眠時間大于等于8小時”為“睡眠充足”,“平均每天睡眠時間小于8小時”為“睡眠不足”.
高三學生平均每天睡眠時間頻數分布表
睡眠時間(小時) | [5,6) | [6,7) | [7,8) | [8,9) | [9,10) |
男生(人) | 4 | 18 | 10 | 12 | 6 |
女生(人) | 2 | 20 | 16 | 8 | 4 |
(Ⅰ)請將下面的列聯表補充完整:
睡眠充足 | 睡眠不足 | 合計 | |
男生(人) | 32 | ||
女生(人) | 12 | ||
總計 | 100 |
(Ⅱ)根據已完成的2×2列聯表,判斷是否有90%的把握認為“睡是否充足與性別有關”?
附:參考公式=
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.636 | 10.828 |
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