Question

1．設向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=3，|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，則$\frac{{|{\overrightarrow a}|}}{\overrightarrow a•\overrightarrow b}$的取值范圍是[$\frac{2}{5}$，2]．

Answer 1

分析 根據(jù)模長公式與數(shù)量積公式，求出$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$的值，再利用三角不等式求出|$\overrightarrow{a}$|的取值范圍，即可計算$\frac{{|{\overrightarrow a}|}}{\overrightarrow a•\overrightarrow b}$的取值范圍．

解答 解：向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=3，|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，
∴${|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}^{2}$-${|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}^{2}$=4$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=9-4=5，
解得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{5}{4}$；
又|2$\overrightarrow{a}$|=|（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）+（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）|∈[3-2，3+2]=[1，5]，
∴|$\overrightarrow{a}$|∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]；
∴$\frac{{|{\overrightarrow a}|}}{\overrightarrow a•\overrightarrow b}$∈[$\frac{2}{5}$，2]；
∴所求的取值范圍是[$\frac{2}{5}$，2]．
故答案為：[$\frac{2}{5}$，2]．

點評 本題考查了平面向量數(shù)量積與模長公式的應用問題，也考查了不等式的應用問題，是基礎題．