如圖，四棱柱中，底面.四邊形為梯形，,且.過(guò)三點(diǎn)的平面記為，與的交點(diǎn)為.
（1）證明：為的中點(diǎn)；
（2）求此四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積之比；
（3）若，，梯形的面積為6，求平面與底面所成二面角大小.

（1）為的中點(diǎn)；（2）；（3）.

解析試題分析：（1）利用面面平行來(lái)證明線線平行∥，則出現(xiàn)相似三角形，于是根據(jù)三角形相似即可得出，即為的中點(diǎn).（2）連接.設(shè)，梯形的高為，四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積分別為和，，則.先表示出和，就可求出，從而.（3）可以有兩種方法進(jìn)行求解.第一種方法，用常規(guī)法，作出二面角.在中，作，垂足為，連接.又且，所以平面，于是.所以為平面與底面所成二面角的平面角.第二種方法，建立空間直角坐標(biāo)系，以為原點(diǎn)，分別為軸和軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè).因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/9e/d/13qws3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.從而，，所以，.設(shè)平面的法向量，再利用向量求出二面角.
（1）證：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8d/c/12s3w2.png" style="vertical-align:middle;" />∥，∥,，
所以平面∥平面.從而平面與這兩個(gè)平面的交線相互平行，即∥.
故與的對(duì)應(yīng)邊相互平行，于是.
所以，即為的中點(diǎn).
（2）解：如圖，連接.設(shè)，梯形的高為，四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積分別為和，，則.

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如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，
．

（Ⅰ）求證：CD⊥平面ADD1A1；
（Ⅱ）若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為，求k的值.

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如下圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE與平面ABCD所成的角為60°.

(1)求證：AC⊥平面BDE；
(2)求二面角F－BE－D的余弦值；
(3)設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．

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如圖，和所在平面互相垂直，且，，E、F分別為AC、DC的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）求二面角的正弦值.

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（12分）（2011•重慶）如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1

（Ⅰ）求四面體ABCD的體積；
（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值．

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在斜三棱柱中，平面平面ABC，，，.
（1）求證：；
（2）若，求二面角的余弦值.

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如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，⊥底面．
 
(1)證明：平面平面；
(2)若二面角為，求與平面所成角的正弦值．

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已知向量，若，則______；

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若，，與的夾角為，則的值為　　　　　

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