Question

6．如圖所示，某幼兒園有一個游樂場ABCD，其中AB=50米，BC=40米，由于幼兒園招生規(guī)模增大，需將該游樂場擴(kuò)大成矩形區(qū)域EFGH，要求A、B、C、D四個點(diǎn)分別在矩形EFGH的四條邊（不含頂點(diǎn)）上．設(shè)∠BAE=θ（弧度），EF的長為y米．
（1）求y關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求矩形區(qū)域EFGH的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由∠BAE=θ，$∠E=\frac{π}{2}$，推出$∠ABE=\frac{π}{2}-θ$，∠CFB=θ．通過EF=EB+BF=50sinθ+40cosθ，得到y(tǒng)關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式；
（2）結(jié)合（1）求出S=2000+4100sinθcosθ=2000+2050sin2θ（$0＜θ＜\frac{π}{2}$），利用三角函數(shù)的最值求解即可．

解答 解：（1）由∠BAE=θ，$∠E=\frac{π}{2}$，得$∠ABE=\frac{π}{2}-θ$，
又$∠ABC=\frac{π}{2}$，所以∠CFB=θ．
由AB=50，BC=40，所以EF=EB+BF=50sinθ+40cosθ，
即y=50sinθ+40cosθ（$0＜θ＜\frac{π}{2}$）．
（2）由（1）可知，EF=50sinθ+40cosθ，GF=CF+CG=40sinθ+50cosθ，
所以S=2000+4100sinθcosθ=2000+2050sin2θ（$0＜θ＜\frac{π}{2}$），
當(dāng)$θ=\frac{π}{4}$時，S取得最大值，且最大值為4050（平方米）．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的最值，三角形的解法，考查計(jì)算能力．