Question

13．已知函數$f（x）=-alnx+\frac{{2{a^2}}}{x}+x（a∈R）$．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當a＞0時，若函數f（x）在[1，e]上的最小值記為g（a），請寫出g（a）的函數表達式．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，求出f（1），f′（1）的值，代入切線方程即可；
（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，確定函數的單調區(qū)間，從而求出區(qū)間上的最小值即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=-alnx+\frac{{2{a^2}}}{x}+x（a∈R）$，
∴${f^'}（x）=-\frac{a}{x}-\frac{{2{a^2}}}{x^2}+1$
當a=1時，$f（x）=-lnx+\frac{2}{x}+x，{f^'}（x）=-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}+1$，
f（1）=3，k=f′（1）=-2，
曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：
y-3=-2（x-1）即2x+y-5=0．…（3分）
（2）${f^'}（x）=-\frac{a}{x}-\frac{{2{a^2}}}{x^2}+1=\frac{{{x^2}-ax-2{a^2}}}{x^2}=\frac{（x-2a）（x+a）}{x^2}$，
∵a＞0，x＞0，由f′（x）＞0得x＞2a，由f′（x）＜0得0＜x＜2a，
∴f（x）在（0，2a]上為減函數，在（2a，+∞）上為增函數．…（5分）
①當0＜2a≤1即0＜a≤$\frac{1}{2}$時，f（x）在[1，e]上為增函數，
∴g（a）=f（1）=2a²+1在（0，2a]上為減函數，在（2a，+∞）上為增函數．…（7分）
②當1＜2a＜e即$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$時，f（x）在[1，2a]上為減函數，在（2a，e]上為增函數，
∴g（a）=f（2a）=-aln（2a）+3a…（9分）
③當2a≥e即a≥$\frac{e}{2}$時，f（x）在[1，e]上為減函數，
∴$g（a）=f（e）=-a+\frac{{2{a^2}}}{e}+e$…（11分）
綜上所述，$g（a）=\left\{\begin{array}{l}2{a^2}+1（0＜a≤\frac{1}{2}）\\-aln（2a）+3a（\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}）\\-a+\frac{{2{a^2}}}{e}+e（a≥\frac{e}{2}）\end{array}\right.$…（12分）

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．