Question

【題目】已知橢圓的四個頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為，橢圓的一個焦點(diǎn)為圓的圓心．

(1)求橢圓的方程；

(2)若M，N為橢圓上的兩個動點(diǎn)，直線OM，ON的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，△MON的面積是否為定值?若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）為定值，詳見解析

【解析】

(1)根據(jù)菱形的面積和焦點(diǎn)建立方程組，解方程組可得；

(2)先求弦長和三角形的高，再求面積的表達(dá)式，求出定值.

解：（1）由題意可知，，

圓的圓心為，所以，

因此，聯(lián)立，解之，

故橢圓的方程為.

（2）設(shè)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，

由，消可得，

則有，即，

，

所以

.

點(diǎn)到直線的距離，

所以.

又因?yàn)?/span>，

所以，

化簡可得，滿足，

代入，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由于，考慮到關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,

此時(shí)，

綜上，的面積為定值.

法二：設(shè)，

由題意，可得，

所以，

而

因?yàn)?/span>，所以，故為定值.