Question

【題目】已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為F，直線l與拋物線C交于P，Q兩點．

（1）若l過點F，拋物線C在點P處的切線與在點Q處的切線交于點G．證明：點G在定直線上．

（2）若p＝2，點M在曲線y上，MP，MQ的中點均在拋物線C上，求△MPQ面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）設(shè)，，根據(jù)條件分別求出直線PG的方程，QG的方程，聯(lián)立可得，化簡得到點G在定直線上．

（2）設(shè)，表示出的面積．結(jié)合在曲線y上，即可求出面積的取值范圍．

（1）證明：易知，設(shè)，．

由題意可知直線l的斜率存在，故設(shè)其方程為．

由，得，所以．

由，得，，則，

直線PG的方程為，即①.

同理可得直線QG的方程為②.

聯(lián)立①②，可得．

因為，所以，故點G在定直線上．

（2）設(shè)，

，的中點分別為，．

因為，得中點均在拋物線上，

所以，為方程的解，

即方程的兩個不同的實根，

則，，

，即，

所以的中點的橫坐標為，縱坐標為.

則，

，

所以的面積．

由，得，

所以，

因為，所以，

所以面積的取值范圍為．