Question

6．已知x＞0，y＞0，若不等式$\frac{x+2y}{xy}$≥$\frac{k}{2x+y}$恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為9．

Answer 1

分析 由已知不等式分離變量k，得k≤$\frac{（x+2y）（2x+y）}{xy}$=5+$\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}$，然后利用基本不等式求得k的最大值．

解答 解：∵x＞0，y＞0，不等式$\frac{x+2y}{xy}$≥$\frac{k}{2x+y}$恒成立等價(jià)于k≤$\frac{（x+2y）（2x+y）}{xy}$=5+$\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}$，
5+$\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}$≥5+2$\sqrt{\frac{2x}{y}•\frac{2y}{x}}$=9，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2x}{y}=\frac{2y}{x}$，即x=y時(shí)“=”成立．
∴k≤9．
故答案為：9

點(diǎn)評(píng) 本題考查了恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了分離變量法，涉及了利用基本不等式求最值，是中檔題．