Question

2．為了檢驗訓(xùn)練情況，武警某支隊于近期舉辦了一場展示活動，其中男隊員12人，女隊員18人，測試結(jié)果如莖葉圖所示（單位：分）．若成績不低于175分者授予“優(yōu)秀警員”稱號，其他隊員則給予“優(yōu)秀陪練員”稱號．
（1）若用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀警員”和“優(yōu)秀陪練員”中共提取10人，然后再從這10人中選4人，那么至少有1人是“優(yōu)秀警員”的概率是多少？
（2）若所有“優(yōu)秀警員”中選3名代表，用ξ表示所選女“優(yōu)秀警員”的人數(shù)，試求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)莖葉圖，有“優(yōu)秀警員”12人，“優(yōu)秀陪練員”18人．用分層抽樣的方法，與古典概率計算公式即可得出．
（2）依題意，ξ的取值為0，1，2，3．利于古典概率計算公式即可得出．

解答 解：（1）根據(jù)莖葉圖，有“優(yōu)秀警員”12人，“優(yōu)秀陪練員”18人
用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是$\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$
所以選中的“優(yōu)秀警員”有4人，“優(yōu)秀陪練員”有6人．
用事件A表示“至少有1名“優(yōu)秀警員”被選中”，
則$P（A）=1\frac{C_6^4}{{C_{10}^4}}$=$1-\frac{15}{210}=\frac{13}{14}$．
因此，至少有1人是“優(yōu)秀警員”的概率是$\frac{13}{14}$
（2）依題意，ξ的取值為0，1，2，3.$p（ξ=0）=\frac{C_8^3}{{C_{12}^3}}=\frac{14}{55}$，$p（ξ=1）=\frac{C_4^1C_8^2}{{C_{12}^3}}=\frac{28}{55}$，$p（ξ=2）=\frac{C_4^2C_8^1}{{C_{12}^3}}=\frac{12}{55}$，$p（ξ=3）=\frac{C_4^3}{{C_{12}^3}}=\frac{1}{55}$，
因此，ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
p	$\frac{14}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{1}{55}$

∴$Eξ=0×\frac{14}{55}+1×\frac{28}{55}$$+2×\frac{12}{55}+3×\frac{1}{55}=1$．

點評 本題考查了莖葉圖、分層抽樣、古典概率計算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．