Question

1．已知函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，且f（4）=4，則f（2012）=（　�。�

• A． 0
• B． -4
• C． -8
• D． -16

Answer 1

分析 先利用函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，得到函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，然后求出f（3）=0，最后利用函數(shù)的周期性求f（2012）的值．

解答 解：因為函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，
所以函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，
即函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，
令x=-3得，f（-3+6）+f（-3）=2f（3），
即f（3）-f（3）=2f（3），解得f（3）=0．
所以f（x+6）+f（x）=2f（3）=0，即f（x+6）=-f（x），
所以f（x+12）=f（x），即函數(shù)的周期是12．
所以f（2012）=f（12×168-4）=f（-4）=-f（4）=-4．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質的合理運用．