Question

11．已知雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，若拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點到雙曲線C₁的漸近線的距離為2，則拋物線C₂的方程為x²=16y．

Answer 1

分析 由題意可得雙曲線的漸近線方程和離心率，可得b=$\sqrt{3}$a，c=2a，由點到直線的距離公式可得p的方程，代入化簡可得p值，進而可得方程．

解答 解：由題意可得雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線為y=±$\frac{a}$x，
化為一般式可得bx±ay=0，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$=2，
解得b=$\sqrt{3}$a，∴c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2a，
又拋物線C₂：x²=2py（p＞0）故焦點到bx±ay=0的距離d=$\frac{\frac{ap}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{ap}{2c}$=2，
∴p=$\frac{4c}{a}$=8，
∴拋物線C₂的方程為：x²=16y
故答案為：x²=16y

點評 本題考查雙曲線與拋物線的簡單性質，涉及離心率的應用和點到直線的距離公式，屬中檔題．