Question

3．已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的三條對(duì)邊，且c²=a²+b²-ab．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)余弦定理直接求解角C的大�。�
（Ⅱ）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理消去B，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問(wèn)題求解最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）c²=a²+b²-ab．即ab=a²+b²-c²
由余弦定理：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵A+B+C=π，C=$\frac{π}{3}$．
∴B=$\frac{2π}{3}-A$，且A∈（0，$\frac{2π}{3}$）．
那么：cosA+cosB=cosA+cos（$\frac{2π}{3}-A$）=sin（$\frac{π}{6}+A$），
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$）．
∴$\frac{π}{6}≤$$\frac{π}{6}+A$$≤\frac{5π}{6}$，
故得當(dāng)$\frac{π}{6}+A$=$\frac{π}{2}$時(shí)，cosA+cosB取得最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理的運(yùn)用和三角函數(shù)的有界限求解最值問(wèn)題．屬于基礎(chǔ)題．