【題目】已知函數(shù)f(x)=
(Ⅰ)若a=﹣1,證明:函數(shù)f(x)是(0,+∞)上的減函數(shù);
(Ⅱ)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x﹣y=0平行,求a的值;
(Ⅲ)若x>0,證明: (其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)).

【答案】解:(Ⅰ)當a=﹣1時,f(x)= ,
∴函數(shù)的定義域為(﹣1,0)∪(0,+∞),
∴f′(x)= ,
設g(x)=x﹣(x+1)ln(x+1),
∴g′(x)=1﹣[ln(x+1)+1]=﹣ln(x+1),
∴g′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
∴g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),
∴g(x)<g(0)=0,
∴f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù).
(Ⅱ)∵f′(x)= ,
∴k=f′(1)=
∵y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x﹣y=0平行
=1,
即ln(1﹣a)= ,分別畫出y=ln(1﹣x)與y= 的圖象,
又圖象可知交點為(0,0)
∴解得a=0.
(Ⅲ):∵ = = ,
= ,
由(Ⅰ)知,當a=﹣1時,f(x)= 在(0,+∞)上為減函數(shù),
故要證原不等式成立,只需要證明:當x>0時,x<ex﹣1,
令h(x)=ex﹣1﹣x,
則h′(x)=ex﹣1>0,
∴h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
∴h(x)>h(0)=0,即x<ex﹣1,
∴f(x)>f(ex﹣1)


【解析】(Ⅰ) 先求導,得到f′(x)= ,再構造函數(shù)g(x)=x﹣(x+1)ln(x+1),求出g(x)的最大值為0,繼而得到f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,問題得以證明;(Ⅱ)欲求a的值,根據(jù)在點(1,f(1))處的切線方程,只須求出其斜率的值即可,故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值,再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率,解方程即可得;(Ⅲ) = ,由(Ⅰ)的結論,故要證原不等式成立,只需要證明:當x>0時,x<ex﹣1,構造函數(shù),利用導數(shù)和函數(shù)的最值的關系即可證明.
【考點精析】關于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

練習冊系列答案
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(3)現(xiàn)從所有一等獎的學生中隨機選擇2名學生接受采訪,已知一等獎獲得者中只有2名女生,求恰有1名女生接受采訪的概率.

分組

頻數(shù)

頻率

第1組

[60,70)

M

0.26

第2組

[70,80)

15

p

第3組

[80,90)

20

0.40

第4組

[90,100]

N

q

合計

50

1

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